☛ Équation différentielle de la forme y' = f

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) . 
On dit qu'une fonction \(g\) définie sur \(I\) est une solution de l'équation différentielle \(y'=f\) sur \(I\) lorsque \(g\) est dérivable sur \(I\) et  que, pour tout  \(x\in I\) ,   \(g'(x)=f(x)\) .

Énoncé

Démontrer que la fonction \(g\) définie sur \(]0~;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac 23 x\sqrt x\) est une solution sur \(]0~;+\infty[\) de l'équation différentielle \(y'=\sqrt x\) .

Solution

\(g\)   est dérivable sur  \(]0~;+\infty[\) .

• Pour tout \(x>0\) , on a  \(g'(x)=\dfrac23\sqrt x+\dfrac23x\times \dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac23\sqrt x+\dfrac13\sqrt x=\sqrt x\) .
  
• Pour tout   \(x>0\) , on a bien \(g'(x)=\sqrt x\) , donc \(g\) est solution sur \(]0~;+\infty[\) de l'équation différentielle \(y'=\sqrt x\) .